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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點.
(Ⅰ)求證:PB⊥DM;
(Ⅱ)求BD與平面ADMN所成的角.

【答案】分析:法一:(Ⅰ)因為N是PB的中點,PA=AB,要證PB⊥DM,只需證明PB垂直DM所在平面ADMN.即可.
(Ⅱ)連接DN,說明∠BDN是BD與平面ADMN所成的角,在Rt△BDN中,解BD與平面ADMN所成的角.
法二:以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz,設BC=1,(Ⅰ)求出,就證明PB⊥DM.
(Ⅱ)說明的余角即是BD與平面ADMN所成的角,求出,即可得到BD與平面ADMN所成的角.
解答:解:方法一:
(Ⅰ)因為N是PB的中點,PA=AB,
所以AN⊥PB.

因為AD⊥面PAB,
所以AD⊥PB.
從而PB⊥平面ADMN.因為DM?平面ADMN
所以PB⊥DM.
(Ⅱ)連接DN,
因為PB⊥平面ADMN,
所以∠BDN是BD與平面ADMN所成的角.
在Rt△BDN中,
故BD與平面ADMN所成的角是
方法二:
如圖,以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz,設BC=1,
則A(0,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)
(Ⅰ)因為=0
所以PB⊥DM.
(Ⅱ)因為=0
所以PB⊥AD.
又PB⊥DM.
因此的余角即是BD與平面ADMN.
所成的角.
因為
所以=
因此BD與平面ADMN所成的角為
點評:本題考查直線與平面垂直的性質,直線與平面所成的角,考查邏輯思維能力,計算能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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同步練習冊答案
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