Question

（文）在△ABC中，A點的坐標為（3，0），BC邊長為2，且BC在y軸上的區間[-3，3]上滑動．
（1）求△ABC外心的軌跡方程；
（2）設直線l：y=3x+b與（1）的軌跡交于E，F兩點，原點到直線l的距離為d，求的最大值．并求出此時b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設B點的坐標為（0，y），則C點坐標為（0，y+2）且-3≤y≤1，則由BC邊的垂直平分線，AB的垂直平分線即可求的△ABC外心的軌跡方程
（2）將y=3x+b代入y²=6x-8得9x²+6（b-1）x+b²+8=0．，由y²=6x-8及-2≤y≤2，得．則問題轉化為9x²+6（b-1）x+b²+8=0在區間上有兩個實根，結合方程的根的分布可求b的范圍，根據弦長公式可得，再由原點到直線l的距離為，，代入結合二次函數的性質可求
解答：解：（文）（1）設B點的坐標為（0，y），則C點坐標為（0，y+2）（-3≤y≤1），
則BC邊的垂直平分線為  y=y+1①，AB的垂直平分線為②
由①②消去y，得y²=6x-8．
∵-3≤y≤1，
∴-2≤y=y+1≤2．
故所求的△ABC外心的軌跡方程為：y²=6x-8（-2≤y≤2）．
（2）將y=3x+b代入y²=6x-8得9x²+6（b-1）x+b²+8=0．
由y²=6x-8及-2≤y≤2，得．
所以方程①在區間有兩個實根．
設f（x）=9x²+6（b-1）x+b²+8，則方程③在上有兩個不等實根的充要條件是

解之得-4≤b≤-3．
∵ 
∴由弦長公式，得
又原點到直線l的距離為，
∴
∵-4≤b≤-3，∴．
∴當，即b=-4時，．
點評：本題主要考查了直銷方程的求解，直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，方程的實根分布問題的應用，點到直線的距離公式等知識的綜合應用，試題具有一定的綜合性．