Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=

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，AD=1．
（I）求證：CD⊥平面PAC
（II）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置，并證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由面面垂直的性質證出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用題中數據算出CD²+AC²=1=AD²，從而AC⊥CD．最后利用線面垂直的判定定理，即可證出CD⊥平面PAC；
（II）取PD的中點F，連結BE、EF、FC．利用三角形的中位線定理和已知條件BC∥AD且BC=

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AD，證出四邊形BEFC為平行四邊形，可得BE∥CF．最后利用線面平行判定定理，即可證出BE∥平面PCD．

解答：解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵側面PAD⊥底面ABCD，PA?側面PAD，
且側面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．
∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=

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，AD=1．
∴AC=

AB2+BC2

=

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，∠CAB=∠CAD=45°
△CAD中由余弦定理，得
CD=

AC2+CD2-2•AC•CDcos45°

=

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可得CD²+AC²=1=AD²，得AC⊥CD．
又∵PA、AC是平面PAC內的相交直線，∴CD⊥平面PAC．
（II）在PA上存在中點E，使得BE∥平面PCD，
證明如下：設PD的中點為F，連結BE、EF、FC，則
∵EF是△PAD的中位線，∴EF∥AD，且EF=

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AD．
∵BC∥AD，BC=

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AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四邊形BEFC為平行四邊形，∴BE∥CF．
∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．

點評：本題在四棱錐中證明線面垂直，并探索線面平行的存在性．著重考查了空間垂直、平行的位置關系的判斷與證明等知識，屬于中檔題．