Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上頂點為A，橢圓C上兩點P，Q在x軸上的射影分別為左焦點F₁和右焦點F₂，直線PQ的斜率為

3

2

，過點A且與AF₁垂直的直線與x軸交于點B，△AF₁B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線l：3x+4y+

1

4

a2=0與圓M相交于E，F兩點，且

ME

•

MF

=-

1

2

a2，求橢圓方程；
（3）設點N（0，3）在橢圓C內部，若橢圓C上的點到點N的最遠距離不大于6

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把點P，Q的坐標用a，b，c表示出來，再利用直線PQ的斜率為

3

2

，即可求橢圓的離心率；
（2）先求出點A，F₁，B以及M的坐標和圓的半徑，再利用

ME

•

MF

=-

1

2

a2可得M到直線l的距離為

a

2

．就可求出a，b，c的值進而求出橢圓方程；
（3）先利用點N（0，3）在橢圓C內部求出b的范圍，再求出橢圓C上的點到點N的距離的表達式，利用題中條件轉化為恒成立問題來求橢圓C的短軸長的取值范圍．

解答：解：（1）由條件可知P(-c，-

b2

a

)，Q(c，

b2

a

)
因為kPQ=

3

2

，所以e=

1

2

（4分）
（2）由（1）可知，a=2c，b=

3

c
所以A(0，

3

c)，F1(-c，0)，B(3c，0)
從而M（c，0）．半徑為a，
因為

ME

•

MF

=-

1

2

a2，
所以∠EMF=120°，可得：M到直線l的距離為

a

2

．
所以c=2，所以橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．（8分）
（3）因為點N在橢圓內部，
所以b＞3．（9分）
設橢圓上任意一點為K（x，y），
則KN2=x2+(y-3)2≤(6

2

)2．
由條件可以整理得：y²+18y-4b²+189≥0
對任意y∈[-b，b]（b＞3）恒成立，
所以有：

-9≤-b (-b)2+18(-b)-4b2+189≥0

或者

-9＞-b (-9)2+18×(-9)-4b2+189≥0

解之得：2b∈(6，12

2

-6]（13分）

點評：本題綜合考查了圓與橢圓的綜合，直線與橢圓的位置關系以及向量的數量積問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點