Question

（2012•黃岡模擬）兩個非零向量

OA

，

OB

不共線，且

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

(m，n＞0)，直線PQ過△OAB的重心，則m，n滿足（　�。�

• A．m+n=

  3

  2

• B．m=1，n=

  1

  2

• C．

  1

  m

  +

  1

  n

  =3
• D．

  1

  m

  +

  1

  n

  =

  1

  3

Answer 1

分析：根據三角形重心的性質，得

OG

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，進而得到

GP

關于向量

OA

、

OB

的表達式，再根據已知條件得

PQ

關于向量

OA

、

OB

的表達式，利用向量共線的條件列式，化簡整理可得本題的答案．

解答：解：∵G是△OAB的重心，
∴點G在△OAB的中線OC上，且

OG

=

2

3

OC

∵

OC

=

1

2

（

OA

+

OB

）
∴

OG

=

2

3

×

1

2

（

OA

+

OB

）=

1

3

OA

+

1

3

OB

∵

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

∴

PQ

=

OQ

-

OP

=n

OB

-m

OA

又∵

GP

=

OP

-

OG

=（m-

1

3

）

OA

-

1

3

OB

，

GP

、

PQ

是共線向量
∴（m-

1

3

）×n=（-m）×（-

1

3

），整理得

1

m

+

1

n

=3
故選C

點評：本題以三角形的重心為載體，求滿足條件的一個等式，著重考查了三角形重心的性質和平面向量基本定理等知識，屬于基礎題．