Question

（2010•唐山二模）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是上底面A₁B₁C₁D₁的中心，則異面直線OC與BC₁所成角的余弦值為

3

6

．

Answer 1

分析：建立如圖的坐標系，以DA所在直線為橫軸，DC所在直線為縱軸，DD₁所在直線為豎軸，再給出各點的坐標，求出兩個向量的坐標，利用公式求出夾角的余弦值即可．

解答：解：
建立如圖的坐標系，以DA所在直線為橫軸，DC所在直線為縱軸，DD₁所在直線為豎軸．
設(shè)正方體棱長為a．
則A（a，0，0），D（0，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0）C₁（0，a，a） A₁（a，0，a）．
因為O為A₁，C₁的中點
∴O（

a

2

，

a

2

，a）．
∴

BC1

=（-a，0，a），

OC

=（-

a

2

，

a

2

，-a）．
∴cos＜

OC

•

BC 1

＞=

OC • BC 1

| OC |•| BC 1 |

=

(-a)(- a 2 )+0• a 2 +(-a)•a

(-a)2+02+a2 • (- a 2 )2+( a 2 )2+(-a)2

=-

3

6

．
∴異面直線OC與BC₁所成角的余弦值為

3

6

．
故答案為：

3

6

．

點評：本題考查用空間向量求直線間的夾角、距離，解答本題，關(guān)鍵是掌握住向量法求夾角的公式，向量在幾何中的應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)引入向量的一大亮點，它大大降低了立體幾何解題的思維難度，應(yīng)好好總結(jié)此類題做題的規(guī)律．