已知函數
.
⑴ 求函數
的單調區間；
⑵ 如果對于任意的
，
總成立，求實數
的取值范圍；
⑶ 設函數
，
. 過點
作函數
圖像的所有切線，令各切點的橫坐標構成數列
，求數列的所有項之和
的值.
(1)
.;(2)
.(3)
.
解析試題分析：(1)利用求導的基本思路求解，注意導數的四則運算；（2）利用轉化思想將問題轉化為
總成立，只需時
.借助求導，研究
的性質，通過對參數k的討論和單調性的分析探求實數的取值范圍；（3）化簡函數，利用導數的幾何含義求解曲線的切線方程，化簡得到
，分析得到
，
，則這兩個函數的圖像均關于點
對稱進行求解數列的所有項之和的值.
試題解析：(1) 由于，所以
. (2分)
當
，即
時，
；
當
，即
時，
.
所以的單調遞增區間為
，
單調遞減區間為. (4分)
(2) 令
，要使總成立，只需時.
對
求導得
，
令，則
，(
)
所以
在
上為增函數，所以
. (6分)
對分類討論：
① 當
時，
恒成立，所以在上為增函數，所以
，即
恒成立；
② 當
時，
在上有實根
，因為在
上為增函數，
所以當
時，
，所以
，不符合題意；
③ 當
時，
恒成立，所以在上為減函數，則
，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實數的取值范圍是. (9分)
(3) 因為
，所以
，
設切點坐標為
，則斜率為
，
切線方程為
， &n
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（
為常數，
為自然對數的底）
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）若函數在
上無零點，求的最小值；
（3）若對任意的
，在
上存在兩個不同的
使得
成立，求的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
我省某景區為提高經濟效益，現對某一景點進行改造升級，從而擴大內需，提高旅游增加值，經過市場調查，旅游增加值
萬元與投入
萬元之間滿足：
為常數。當
萬元時，
萬元；
當
萬元時，
萬元。 （參考數據：
）
（1）求
的解析式；
（2）求該景點改造升級后旅游利潤
的最大值。（利潤＝旅游增加值－投入）。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某投資公司年初用
萬元購置了一套生產設備并即刻生產產品，已知與生產產品相關的各種配套費用第一年需要支出
萬元，第二年需要支出
萬元，第三年需要支出
萬元，……，每年都比上一年增加支出
萬元，而每年的生產收入都為
萬元．假設這套生產設備投入使用
年，
，生產成本等于生產設備購置費與這年生產產品相關的各種配套費用的和，生產總利潤
等于這年的生產收入與生產成本的差. 請你根據這些信息解決下列問題：
（Ⅰ）若
，求的值；
（Ⅱ）若干年后，該投資公司對這套生產設備有兩個處理方案：
方案一：當年平均生產利潤取得最大值時，以
萬元的價格出售該套設備；
方案二：當生產總利潤取得最大值時，以
萬元的價格出售該套設備． 你認為哪個方案更合算？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
,其中
為大于零的常數,
,函數
的圖像與坐標軸交點處的切線為
,函數
的圖像與直線
交點處的切線為
,且
.
(I)若在閉區間
上存在
使不等式
成立,求實數
的取值范圍;
(II)對于函數和公共定義域內的任意實數
,我們把
的值稱為兩函數在處的偏差.求證:函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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（
）在區間
上有最大值
和最小值
．設
， 
、
的值；
在
上有解，求實數
的取值范圍.
．
；
在
上的單調；
上的值域是
的值.