Question

（2013•松江區二模）如圖所示，向量

BC

的模是向量

AB

的模的t倍，

AB

與

BC

的夾角為θ，那么我們稱向量

AB

經過一次（t，θ）變換得到向量

BC

．在直角坐標平面內，設起始向量

OA1

=(4，0)，向量

OA1

經過n-1次(

1

2

，

2π

3

)變換得到的向量為

An-1An

(n∈N*，n＞1)，其中Ai，Ai+1，Ai+2(i∈N*)為逆時針排列，記A_i坐標為（a_i，b_i）（i∈N^*），則下列命題中不正確的是（　　）

• A．b2=

  3

• B．b_3k+1-b_3k=0（k∈N^*）
• C．a_3k+1-a_3k-1=0（k∈N^*）
• D．8（a_k+4-a_k+3）+（a_k+1-a_k）=0（k∈N^*）

Answer 1

分析：利用(

1

2

，

2π

3

)變換的定義，推導知

OA

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

的向量坐標，然后求出a_n，b_n的表達式，然后進行計算即可．

解答：解：向量

OA1

=(4，0)，經過1次變換后得到

OA2

=(2cos?

2π

3

，2sin?

2π

3

)=(-1，

3

)，則A2(-1，

3

)，
所以a2=-1，b2=

3

，即A正確．
則由題意知

OA

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=(4，0)+(2cos?

2π

3

，2sin?

2π

3

)+(cos?

4π

3

，sin?

4π

3

)+…+((

1

2

)n-3cos?

2(n-1)π

3

，(

1

2

)n-3sin?

2(n-1)π

3

)，
所以an=4+2cos?

2π

3

+cos?

4π

3

+…+(

1

2

)n-3cos?

2(n-1)π

3

，bn=4+2sin?

2π

3

+sin?

4π

3

+…+(

1

2

)n-3sin?

2(n-1)π

3

．
所以b3k+1-b3k=(

1

2

)3k+1-3sin?

2(3k+1-1)π

3

=(

1

2

)3k+1-3sin?

2×3kπ

3

=(

1

2

)3k+1-3sin?2kπ=0，
所以B正確．
a3k+1-a3k-1=(

1

2

)3k+1-3cos?

2(3k+1-1)π

3

-(

1

2

)3k-3cos?

2(3k-1)π

3

=(

1

2

)3k-2cos?2kπ-(

1

2

)3k-3cos?(2kπ-

π

3

)
=(

1

2

)3k-2-(

1

2

)3k-3×

1

2

=(

1

2

)3k-2-(

1

2

)3k-2=0，
所以C正確．
故錯誤的是D．
故選D．

點評：本題是新定義題目，首先讀懂新定義的實質，轉化成我們已有的知識并解決．本題實質考查向量的坐標運算，幾何運算，難度較大．