Question

某研究性學習小組研究函數y＝lnx上的點P(x，y)與原點O的連線所在的直線的斜率k的值的變化規律．記直線OP的斜率k＝f(x)．

(Ⅰ)某同學甲發現：點P從左向右運動時，f(x)不斷增大，試問：他的判斷是否正確？若正確，請說明理由：若不正確，請給出你的正確判斷；

(Ⅱ)某同學乙發現：總存在正實數a、b(a＜b)，使a^b＝b^a．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由：若正確，請求出a的取值范圍；

(Ⅲ)某同學丙發現：當x＞0時，函數k＝f(x)的圖像總在函數的圖像的下方，試問：他的判斷是否正確？若正確，請說明理由：若不正確，請給出你的正確判斷；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)某同學甲的判斷不正確 　　依題意，， 　　當時，；當時， 　　所以，在上遞增，在上遞減　4分 　　(2)同學乙的判斷正確 　　∵當時， 　　且()，又由(1)得 　　的圖像如下圖所示 　　所以總存在正實數a、且， 　　使得即也就是ab＝ba， 　　此時實數a的取值范圍為(1，e)　9分 　　(3)同學丙的判斷正確：問題等價于求證：當x＞1時，成立 　　(法一)，記 　　 　　所以g(x)在(1，＋∞)上為減函數，則， 　　所以，即 　　∴當x＞1時，函數的圖像總在函數的圖像的下方　14分 　　(法二)即要證，即證 　　記，有，且， 　　記，有 　　當時，，在上遞減，則 　　∴，則在上遞減， 　　即當時，成立 　　當x＞1時，函數的圖像總在函數的圖像的下方　14分