Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD=CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點．求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理即可；
（2）利用線面垂直的判定定理即可證明．

解答：證明：（1）設(shè)AC∩BD=H．連接EH，
∵AD=CD，DB平分∠ADC，
∴AH=HC．
又∵E為PC的中點，
∴EH∥PA．
又∵PA?平面BDE，EH?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）由（1）可知：BD⊥AC，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC．
又∵AC∩BD=H．
∴AC⊥平面PBD．

點評：熟練掌握線面平行、垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．注意三角形中位線定理和等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)應(yīng)用．