Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，已知BD=2AD=2PD=8，AB=2DC=4

5

．
（1）設M是PC上一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若M是PC的中點，求棱錐P-DMB的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由線面垂直得到面面垂直，在根據解三角形得到BD⊥平面PAD與平面ABCD的交線AD，得到BD⊥平面PAD，然后由面面垂直的判定得結論；
（Ⅱ）利用M是PC的中點，把棱錐P-DMB的體積轉化為棱錐C-DMB的體積，然后利用等積法求解．

解答：（I）證明：如圖，
由PD⊥平面ABCD，PD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
在△ABD中，由于AD=4，BD=8，AB=4

5

，
所以AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．
BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD；
（II）解：過M作MN⊥DC于N，
∵M是PC的中點，∴MN=

1

2

PD=2
∵AB∥DC，∴∠ABD=∠BDC，
∴sin∠BDC=sin∠ABD=

AD

AB

=

5

5

．
∴S△BDC=

1

2

BD•DC•sin∠ABD=

1

2

×8×2

5

×

5

5

=8
∴V_P-DMB=V_C-DMB=V_M-DBC=

1

3

S△BDC•MN=

16

3

．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了棱錐體積的求法，訓練了“等積法”，是中檔題．