Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=

2 6

3

，AD=

3

3

，O為AB的中點，若P是線段DO上動點，則(

PA

+

PB

)•

PD

的最小值是

-

1

2

．

Answer 1

分析：由兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義可得，要求的式子即-2|

PO

|•|

PD

|．|

PO

|+|

PD

|=|

DO

|=1，再利用基本不等式求得|

PO

|•|

PD

|≤

1

4

，
從而求得-2|

PO

|•|

PD

|的最小值．

解答：解：由題意可得 (

PA

+

PB

)•

PD

=2

PO

•

PD

=-2|

PO

|•|

PD

|．
由于|

PO

|+|

PD

|=|

DO

|=

| AO |2+| AD |2

=

6 9 + 1 3

=1，且|

PO

|+|

PD

|≥2

| PO |•|  PD |

，當且僅當|

PO

|=|

PD

|時取等號．
∴|

PO

|•|

PD

|≤

1

4

，∴-2|

PO

|•|

PD

|≥-

1

2

，∴(

PA

+

PB

)•

PD

的最小值是-

1

2

，
故答案為-

1

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，基本不等式的應用，屬于中檔題．