Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₄=-3，S₅=-25，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{|a_n|}的前20項和T₂₀．

Answer 1

分析：（1）依題意，列方程組

a1+3d=-3 5a1+10d=-25

，解得首項a₁與公差d，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=2n-11，當n≤5時，a_n＜0；當n≥6時，a_n＞0，于是可求得T₂₀=|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀|=-2（a₁+a₂+…+a₅）+（a₁+a₂+…+a₅+a₆+a₇+…+a₂₀），從而利用等差數列的求和公式即可得到答案．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則由條件得

a1+3d=-3 5a1+10d=-25

，…（4分）
解得

a1=-9 d=2

，…（6分）
所以{a_n}通項公式a_n=-9+2（n-1），即a_n=2n-11．…（7分）
（2）令2n-11≥0，解得n≥

11

2

，…（8分）
∴當n≤5時，a_n＜0；當n≥6時，a_n＞0，…（9分）
∴T₂₀=|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀|=-（a₁+a₂+…+a₅）+a₆+a₇+…+a₂₀…（10分）
=-2（a₁+a₂+…+a₅）+（a₁+a₂+…+a₅+a₆+a₇+…+a₂₀）
=-2S₅+S₂₀…（12分）
=-2[5×（-9）+

5×4

2

×2]+[20×（-9）+

20×19

2

×2]
=250．…（14分）

點評：本題考查等差數列的前n項和，考查方程思想與等價轉化思想的應用，（2）中求得T₂₀=-2S₅+S₂₀是關鍵，也是難點，考查推論分析與運算能力，屬于中檔題．