Question

已知在遞增等差數列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₇成等比數列數列{b_n}的前n項和為S_n，且Sn=2n+1-2．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設cn=abn，求數列{c_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，a32=a1a7，結合等差數列的通項公式可求公差d，進而可求a_n，；利用遞推公式b₁=s₁，b_n=s_n-s_n-1（n≥2）可求b_n
（2）利用分組求和，結合等差與等比數列的求和公式即可求和

解答：解：∵a₁=2，a₁，a₃，a₇成等比數列
∴a32=a1a7
設等差數列的公差d，則（2+2d）²=2（2+6d），d＞0
∴d=1，a_n=n+1
∵Sn=2n+1-2．
∴b₁=s₁=2
b_n=s_n-s_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ（n≥2）
當n=1時也適合
∴b_n=2ⁿ
（2）∵cn=abn=2ⁿ+1
∴Tn=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+1+1+…+1）
=

2(1-2n)

1-2

+n
=2ⁿ⁺¹-2+n

點評：本題主要考查了等比數列的性質，等差 數列的通項公式的應用，及數列的遞推公式在求解數列的通項公式中的應用，分組求和方法的應用及等比數列的求和公式的應用