Question

如圖，A，B兩點的坐標分別為（-2，0），（2，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是

3

4

．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（ 2）是否存在斜率為l直線l與曲線C交于P，Q兩點，且使△OPQ的面積等于

12

7

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，利用直線AM，BM的斜率之積是

3

4

，建立方程，即可得到點M的軌跡C的方程；
（2）設出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及△OPQ的面積等于

12

7

，建立方程，即可求得結論．

解答：解：（1）設M（x，y），則由條件可得

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

整理可得

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)；
（2）假設存在滿足條件的直線l，其方程為y=x+m，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
直線方程代入橢圓方程，消去y可得7x²+8mx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=-

8m

7

，x1x2=

4m2-12

7

由△=64m²-28（4m²-12）＞0可得m²＜7
∴|PQ|=

2(x1-x2)2

=

4 2

7

×

21-3m2

∵圓的O到直線l的距離d=

|m|

2

∴

1

2

×

4 2

7

×

21-3m2

×

|m|

2

=

12

7

∴m=±

3

或m=±2，滿足m²＜7
∴存在滿足條件的直線l，其方程為y=x±

3

或y=x±2．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．