Question

函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+2在x=2處取得極值，其圖象在x=1處的切線與直線x-3y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)時(shí)，xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及兩個(gè)已知條件可以建立a，b的兩個(gè)方程．
（2）由題意知屬于函數(shù)在定義域上恒成立問題；一般先對解析式變形；一端分解出參數(shù)字母m，一端為函數(shù)式，要想恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為字母恒小于或大于函數(shù)在定義域下的最值．
解答：解：（1）f'（x）=3（x²+2ax+b）
由題意得，解得a=-1，b=0
（2）當(dāng)時(shí)，xf'（x）≤m-6x²+9x恒成立?當(dāng)時(shí)，3x³-9x≤m恒成立
令g（x）=3x³-9x，則g'（x）=9（x+1）（x-1）g（x）在是增函數(shù)，（-1，1）是減函數(shù)
而，所以當(dāng)時(shí)，g（x）_max=6
故m≥6
點(diǎn)評：此題（1）考查了導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何含義及利用了高中數(shù)學(xué)中常用的方程的思想求解a，b的值；
此題（2）考查了函數(shù)在定義域下恒成立時(shí)字母的取值范圍及解題中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．