Question

如圖，在Rt△AOB中，，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動點D在斜邊AB上．
（I）求證：平面COD⊥平面AOB；
（II）當(dāng)D為AB的中點時，求異面直線AO與CD所成角的余弦值大小；
（III）求CD與平面AOB所成角最大時的正切值大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證平面COD⊥平面AOB，先證直線與平面垂直，由題意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB，進一步易得平面COD⊥平面AOB
（2）解法一：求異面直線所成的角，需要將兩條異面直線平移交于一點，由D為AB的中點，故平移時很容易應(yīng)聯(lián)想到中位線，作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，則DE∥AO，所以∠CDE是異面直線AO與CD所成的角
解法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)C、OB、OA為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．
（3）本題的設(shè)問是遞進式的，第（1）問是為第（3）問作鋪墊的．求直線與平面所成的角，首先要作出這個平面的垂線，由第（1）問可知：CO⊥平面AOB，所以∠CDO是CD與平面AOB所成的角，tan∠CDO==，當(dāng)OD最小時，tan∠CDO最大
解答：解：（I）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足為E，連接CE（如圖），則DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，，
∴．
又．
∴
∴在Rt△CDE中，．
∴異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為．（9分）

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖，
則O（0，0，0），，C（2，0，0），，
∴，，
∴=．
∴異面直線AO與CD所成角的余弦值為．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，
且．當(dāng)OD最小時，∠CDO最大，這時，OD⊥AB，垂足為D，，，
∴CD與平面AOB所成角的最大時的正切值為．（14分）
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、異面直線所成的角的度量、線面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力