Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP；
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的余弦的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證PD⊥平面SAP，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證PD與平面SAP內兩相交直線垂直，根據題意可知∠SBA是SB與平面ABCD所成的角，根據勾股定理可知AP⊥PD，根據線面垂直的性質可知SA⊥PD，而SA∩AP=A滿足定理所需條件；
（Ⅱ）設Q為AD的中點，連接PQ，根據PQ⊥SD，SD⊥PR，則∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角，在Rt△PRQ中，求出二面角A-SD-P的余弦即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：因為SA⊥底面ABCD，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角（1分）
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，（3分）
又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．（4分）
因為SA⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，
所以SA⊥PD，（5分）
由于SA∩AP=A所以PD⊥平面SAP．（6分）

（Ⅱ）設Q為AD的中點，連接PQ，（7分）
由于SA⊥底面ABCD，且SA?平面SAD，
則平面SAD⊥平面PAD（8分）
∵PQ⊥AD，∴PQ⊥平面SAD，∵SD?平面SAD，∴PQ⊥SD．
過Q作QR⊥SD，垂足為R，連接PR，則SD⊥面QPR．
又PR?面QPR，∴SD⊥PR，∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．（10分）
容易證明△DRQ∽△DAS，則．
因為DQ=1，SA=1，SD=，
所以．（12分）
在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，，
所以．（13分）
所以二面角A-SD-P的余弦為．（14分）
點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及與二面角有關的立體幾何綜合題，同時考查了空間想象能力以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．