Question

已知函數f（x）=e^x-m-ln（x+1），其中m∈R．
（Ⅰ）若x=0是函數f（x）的極值點，求m的值并討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當m≤-1時，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由題意可知f'（0）=0，由此可求m，把m值代入f′（x），由f′（x）的單調性及f'（0）=0可知其符合變化規律，從而可得單調性；
（Ⅱ）x∈R時，e^x≥x+1恒成立，x∈（-1，+∞）時，x≥ln（x+1）恒成立，據此進行適當放縮可得結論；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-m-

1

x+1

，
因為x=0是函數的極值點，所以f'（0）=0，即e^-m-1=0，解得m=0，
當m=0時，f（x）=e^x-ln（x+1），
f′(x)=ex-

1

x+1

為（-1，+∞）上的增函數，
又由于f'（0）=0，
故x∈（-1，0）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
（Ⅱ）當m≤-1時，對于x∈（-1，+∞），
首先：x∈R時，e^x≥x+1恒成立；
其次：x∈（-1，+∞）時，x≥ln（x+1）恒成立；
所以e^x-m≥e^x+1＞e^x≥x+1＞x≥ln（x+1），
所以，e^x-m＞ln（x+1），即e^x-m-ln（x+1）=f（x）＞0成立．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、單調性，考查學生靈活運用知識分析解決問題的能力．