Question

函數f（x）=x^α，對任意的x∈（-1，0）∪（0，1），若不等式f（x）＞x恒成立，則在α∈{-1，0，

1

2

，1，2，3}的條件下，α可以取的值的個數是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由題設條件，分別把α∈{-1，0，

1

2

，1，2，3}中的六個元素逐個代入f（x）=x^α，逐個進行驗正，能夠得到α可以取的值的個數．

解答：解：當α=-1時，f（x）=x^-1，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠-1；
當α=0時，f（x）=x⁰=1，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x成立，
∴α=0；
當α=

1

2

時，f（x）=x 

1

2

，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠

1

2

；
當α=1時，f（x）=x，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠1；
當α=2時，f（x）=x²，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不成立，
∴α≠2；
當α=3時，f（x）=x³，
任意的x∈（-1，0）∪（0，1），
不等式f（x）＞x不恒成立，
∴α≠3．
綜上所述，α可以取的值只有0．
故選D．

點評：本題考查冪函數的性質和應用，解題時要認真審題，注意采用逐個驗正的方法能夠得到答案．