Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分別是PD，BC的中點．
（1）求證：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足為N，求證：MN⊥PD．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PA的中點E，連結EM、BE，根據三角形的中位線定理證出ME∥AD且ME=AD，平行四邊形中Q是BC的中點，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四邊形MQBE是平行四邊形，可得MQ∥BE，再結合線面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，結合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，從而有AN⊥CD．又因為AN⊥PC，結合PC、CD是平面PCD內的相交直線，可得AN⊥平面PCD，從而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三線合一”，證出AM⊥PD，結合AM、AN是平面AMN內的相交直線，得到PD⊥平面AMN，從而得到MN⊥PD．
解答：解：（1）取PA的中點E，連結EM、BE，
∵M是PD的中點，∴ME∥AD且ME=AD，
又∵Q是BC中點，∴BQ=BC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，
∴四邊形MQBE是平行四邊形，可得MQ∥BE，…（4分）
∵BE?平面PAB，MQ?平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC內的相交直線，
∴CD⊥平面PAC，結合AN?平面PAC，得AN⊥CD． …（9分）
又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD內的相交直線，
∴AN⊥平面PCD，結合PD?平面PCD，可得AN⊥PD，…（12分）
∵PA=AD，M是PD的中點，∴AM⊥PD，…（13分）
又∵AM、AN是平面AMN內的相交直線，∴PD⊥平面AMN，
∵MN?平面AMN，∴MN⊥PD．…（14分）
點評：本題在四棱錐中證明線面平行、線線垂直．著重考查了三角形中位線定理、空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．