Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB所在直線為軸將△ABC旋轉(zhuǎn)一周生成兩個(gè)圓錐，設(shè)這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之積為S₁，△ABC的內(nèi)切圓面積為S₂，記=x. 

(1)求函數(shù)f(x)=的解析式并求f(x)的定義域.

(2)求函數(shù)f(x)的最小值.

Answer 1

解析:

(1）如圖所示:設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h=,

∴S₁=πah+πbh=

∴f(x)=                 ①

又 

代入①消c，得f(x)=.

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,則

x==sinA+cosA=sin(A+). ∴1＜x≤.

(2)f(x)= +6,

設(shè)t=x－1,則t∈(0, －1),y=2(t+)+6

在(0，－1上是減函數(shù)，

∴當(dāng)x=(－1)+1=時(shí)，f(x)的最小值為6+8.