Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，D、E分別為AB、AC上的點，AB⊥DE，沿DE將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC，設AD=x．
（1）試將四棱錐A-BCED的體積u（x）用x表示出來．
（2）當x為何值時，u（x）取最大值．
（3）當u（x）取最大值時，求二面角A-CE-B的某一個三角函數值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由Rt△ADE∽Rt△ACB得，結合題中數據算出，從而得到S_△ADE=，結合S_△ABC=2算出，由面面垂直的性質定理證出AD⊥平面BDEC，得AD是四棱錐A-BCED的高，再用錐體的體積公式，即可得到四棱錐A-BCED的體積u（x）的表達式；
（2）根據（1）中所得的u（x）的表達式，求導數得．研究u'（x）的正負，可得u（x）的增區間是（0，2），減區間是（2，3），從而得到u（x）最大值為u（2）=；
（3）過點D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，連接AF．根據AD⊥平面BCDE利用三垂線定理，得AF⊥CE，所以∠AFD就是二面角A-CE-B的平面角．Rt△AFD中，算出DF=DEsin60°=×=1，從而得到tan∠AFD==2，即得二面角A-CE-B的正切值等于2．
解答：解：（1）根據題意，得Rt△ADE∽Rt△ACB，
∴，結合Rt△ACB中，AC=4cos30°=2，BC=4sin30°=2
代入得，解得，
由此可得S_△ADE=×AD×DE=，而S_△ABC=×AC×BC=ABcos30°×ABsin30°=2
∴
∵平面ADE⊥平面BDEC，平面ADE∩平面BDEC=DE，AD?平面ADE且AD⊥DE
∴AD⊥平面BDEC，AD是四棱錐A-BCED的高線，
因此四棱錐A-BCED的體積V=
即u（x）=
（2）由（1）得，
令u′（x）＞0，得x∈（0，2）；令u′（x）＜0，得x∈（2，3）
∴u（x）的增區間是（0，2），減區間是（2，3），因此函數u（x）的最大值；
（3）由（2）得當u（x）取最大值時，AD=x=2
過點D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，連接AF
∵AD⊥平面BCDE，可得DF是AF在平面BCDE內的射影
∴由三垂線定理，可得AF⊥CE，
因此，∠AFD就是二面角A-CE-B的平面角
∵△DEF中，∠DEF=90°-30°=60°，DE==
∴DF=DEsin60°=×=1
由此可得Rt△AFD中，tan∠AFD==2
即二面角A-CE-B的正切值等于2．
點評：本題給出平面圖形的折疊問題，求四棱錐A-BCED的體積的最大值，并求此時二面角A-CE-B的一個三角函數值，著重考查了解直角三角形、相似三角形、面面垂直的性質定理、錐體的體積公式和利用導數研究函數的單調性等知識，屬于中檔題．