Question

將數(shù)列{a_n}  中的所有項按第一排三項，以下每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如數(shù)表：記表中的第一列數(shù)a₁，a₄，a₈，…構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，已知：
①在數(shù)列{b_n}  中，b₁=1，對于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為q（q＞0）的等比數(shù)列；
③．請解答以下問題：
（1）求數(shù)列{b_n}  的通項公式；
（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有項的和S（k）；
（3）若關(guān)于x的不等式在上有解，求正整數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意知 ，因此 ，，…，，將各式相乘得 ；
（2）設上表中每行的公比都為q，表中第1行至第9行共含有數(shù)列b_n的前63項，故a₆₆在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N^*）行所有項的和s（k）；
（3）先求在上的最大值，再解不等式即可．
解答：解：（1）由（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0，b_n＞0，
令 得t＞0，且（n+1）t²+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以 （8分）
因此 ，，…，，將各式相乘得 ；
（2）設上表中每行的公比都為q，且q＞0．因為3+4+5+…+11=63，所以表中第1行至第9行共含有數(shù)列b_n的前63項，故a₆₆在表中第10行第三列，因此又所以q=2．則 k∈N^*
（3）當時，∵為減函數(shù)，∴最小值為，∴，∴k≥8
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答．