Question

（1）已知數列{a_n}的第1項 a₁=1，且a_n+1=（ n=1，2，3…）使用歸納法歸納出這個數列的通項公式．（不需證明）
（2）用分析法證明：若a＞0，則-≥a+-2．

Answer 1

解：（1）由 a₁=1，且a_n+1= 可得，a₂==，a₃==，猜想 ．
（2）證明：要證-≥a+-2，只需證+2≥a++．
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（+2）²≥（a++）²，
只需證a²++4+4≥a²++2+2（a+），
只需證≥（a+），只需證a²+≥（a²++2），
即證a²+≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立．
分析：（1）由 a₁=1，且a_n+1= 可求得數列的前若干項，根據每項的結構特征猜想通項公式．
（2）只需證+2≥a++，只需證（+2）²≥（a++）²，
只需證≥（a+），即證 a²+≥2，而它顯然是成立．
點評：本題考查歸納推理，以及用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關鍵．