Question

【題目】從橢圓上一點向軸作垂線，垂足恰好為橢圓的左焦點， 是橢圓的右頂點， 是橢圓的上頂點，且.

（1）求該橢圓的方程；

（2）不過原點的直線與橢圓交于兩點，已知，直線， 的斜率, 成等比數列，記以， 為直徑的圓的面積分別為，求證； 為定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由通項公式可得，結合，可得， ，則該橢圓的方程為.

(2)令，聯立直線方程與橢圓方程可得，由韋達定理有， ， 成等比數列，則，則，據此整理計算可得，結合面積公式計算可得為定值.

試題解析：

（1）由題可知，由，可得，所以， ，

則該橢圓的方程為.

（2）令， ， ，

由的兩根為，

知， ，由可得.

又，成等比數列可知

，則，

∴，

∴

.