Question

(皖南八校模擬)已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點，

(1)求證：AF∥平面PEC；

(2)求PC與平面ABCD所成角的大小；

(3)求二面角P－EC－D的大�。�

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)取PC的中點O，連結OF、OE． ，且， ∴FO∥AE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分) 又E是AB的中點，且AB=DC， ∴FO=AE ∴四邊形AEOF是平行四邊形， ∴AF∥OE． 又平面PEC，AF平面PEC， ∴AF∥平面PEC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分) (2)連結AC，∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角．　　　　　　　　　(6分) 在Rt△PAC中，． 即直線PC與平面ABCD所成角的大小為．　　　　　　(9分) (3)作AM⊥CE，交CE的延長線于M，連結PM．由三垂線定理，得PM⊥CE． ∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角．　　　　　　　　　　(11分) 由△AME∽△CBE，可得， ． ∴二面角P－EC－D的大小為．　　　　　　　　　　(14分) 解法二：以A為原點，如圖建立直角坐標系．則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，，E(1，0，0)，P(0，0，1)． (1)取PC的中點O，連結OE． 則，． ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分) 又平面PEC，AF平面PEC， ∴AF∥平面PEC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分) (2)由題意可得， 平面ABCD的法向量． ， 即直線PC與平面ABCD所成角的大小為．　　　　　　(9分) (3)設平面PEC的法向量為m=(x，y，z)．，． 則可得 令z=－1，則m=(－1，1，－1)．　　　　　　　　　　　　　　(11分) 由(2)可得平面ABCD的法向量是． ． ∴二面角P－EC－D的大小為．　　　　　　　　　　(14分)