Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+5，過曲線y=f（x） 上的點P（1，f（1））的切線斜率為3．
（1）若y=f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用曲線y=f（x）在P（1，f（1））的切線斜率為3，在x=-2時有極值，建立方程，求得a，b的值，即可求得f（x）的表達式；
（2）確定函數的單調性，求出極值與端點函數值比較，即可求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+5，∴f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲線y=f（x）在P（1，f（1））的切線斜率為3，在x=-2時有極值，
∴f′（1）=2a+b+3=3，f′（-2）=12-4a+b=0
∴a=2，b=-4，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）f′（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	[-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大		極小

∴f（x）_極大=f（-2）=（-2）³+2•（-2）²-4•（-2）+5=13
∵f（1）=1³+2×1-4×1+5=4，f（-3）=（-3）³+2•（-3）²-4•（-3）+5=8
∴f（x）在[-3，1]上最大值為13．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值與最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．