Question

已知函數．函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
①求g（x）的解析式．
②設h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的最值和單調區間．

Answer 1

解：①設P（x，g（x））是函數y=g（x）圖象上一點，P關于直線x=1對稱的點Q（x'，f（x'））在函數y=f（x）的圖象上
∴，可得，
∴g（x）=f（x'）=f（2-x）=
∴g（x）的解析式是 （4分）
②根據題意，得
其中2x-x²＞0，即0＜x＜2，可得h（x）的定義域為（0，2），
令t=2x-x²，則當x∈（0，1）時，t是關于x的增函數；當x∈（1，2）時，t是關于x的減函數．（6分）
∵0＜＜1，y=是關于t的減函數
∴函數y=h（x）的增區間是（1，2），減區間為（0，1）
又∵0＜2x-x²=-（x-1）²+1≤1，（8分）
∴≥=0，即h（x）≥0
∴h（x）有最小值0，無最大值．（12分）
分析：①根據函數圖象對稱的公式，利用坐標轉移的方法，可求得g（x）的解析式為y=；
②根據題意，得，根據對數的真數大于0，解不等式可得h（x）的定義域為（0，2），再根據二次函數的單調區間，結合對數函數的單調性可得函數y=h（x）的增區間是（1，2），減區間為（0，1）．最后根據函數的單調性，求得h（x）≥0，所以h（x）有最小值0，無最大值．
點評：本題以對數函數為例，求已知函數圖象關于直線x=1對稱的圖象對應的函數的解析式，并求復合型二次函數的單調區間和最值，著重考查了函數的單調性與基本初等函數等知識點，屬于基礎題．