Question

已知函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x(a≠0)存在單調遞減區間，則實數a的取值范圍為

（-1，0）∪（0，+∞）

．

Answer 1

分析：利用導數進行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+2x-1＞0在正數范圍內至少有一個解，結合根的判別式列式，不難得到a的取值范圍．

解答：解：對函數求導數，得f'（x）=-

ax2+2x-1

x

，（x＞0）
依題意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax²+2x-1＞0在x＞0時有解．
∴△=4+4a＞0且方程ax²+2x-1=0至少有一個正根．
∴a＞-1，
∴a≠0，
∴-1＜a＜0，或a＞0．
故答案為：（-1，0）∪（0，+∞）．…（5分）

點評：本題主要考查函數與導數，以及函數與方程思想，體現了導數值為一種研究函數的工具，能完成單調性的判定和最值的求解方程，同時能結合常用數學思想，來考查同學們靈活運用知識解決問題的能力．