Question

設函數f（x）=ax+

a+1

x

，（a＞0），g（x）=4-x，已知滿足f（x）=g（x）的x有且只有一個．
（1）求a的值；
（2）若函數h（x）=k-f（x）-g（x），其中x∈（0，+∞），k∈R，判斷并證明h（x）在（0，+∞）的單調性；
（3）若存在區間[m，n]，使得h（x）在[m，n]上的值域為[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=g（x）可化為關于x的二次方程，由一解可得△=0，從而可得a值，注意檢驗x是否為0；
（2）利用函數單調性的定義即可作出判斷證明；
（3）由題意可得h（x）_min=m，h（x）_max=n，根據h（x）的單調性可得h（x）_min=h（m）=-

2

m

+k-4=m，h（x）_max=h（n）=-

2

n

+k-4=n，從而問題轉化為方程-

2

x

+k-4=x在（0，+∞）上有兩個不等實根，分離出k-4，借助x+

2

x

的單調情況及其最值可求得k的范圍．

解答：解：（1）f（x）=g（x），即ax+

a+1

x

=4-x，
∴（a+1）x²-4x+a+1=0（x≠0），
∵滿足f（x）=g（x）的x有且只有一個，
∴△=16-4（a+1）²=0，解得a=1
當a=1時，f（x）=g（x）化為2x²-4x+2=0，解得x=1≠0，
∴a=1；
（2）h（x）在（0，+∞）上為增函數，證明如下：
由（1）知f（x）=x+

2

x

，且g（x）=4-x，
∴h（x）=k-f（x）-g（x）=k-x-

2

x

-4+x=-

2

x

+k-4，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則h（x₁）-h（x₂）=（-

2

x1

+k-4）-（-

2

x2

+k-4）=

2(x1-x2)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數；
（3）存在區間[m，n]，使得h（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，即在[m，n]上h（x）_min=m，h（x）_max=n，
∵0＜m＜n，∴由（2）知h（x）在[m，n]上單調遞增，
∴h（x）_min=h（m）=-

2

m

+k-4=m，h（x）_max=h（n）=-

2

n

+k-4=n，
問題等價于方程-

2

x

+k-4=x在（0，+∞）上有兩個不等實根，也即方程k-4=x+

2

x

在（0，+∞）上有兩個不等實根，
∵x＞0時，x+

2

x

在（0，

2

）上遞減，在（

2

，+∞）上遞增，且x+

2

x

≥2

2

，當且僅當x=

2

時取等號，
∴k-4＞2

2

，即k＞4+2

2

，
故所求k的取值范圍時（4+2

2

，+∞）．

點評：本題考查函數單調性的判斷證明、函數值域的求解及二次方程根的分布情況，考查轉化思想，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．