Question

已知函數f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數列{

1

f(n)

}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₃的值為（　　）

• A、

  2012

  2013

• B、

  2011

  2012

• C、

  2013

  2014

• D、

  2014

  2015

Answer 1

分析：求導函數，根據導數的幾何意義可求切線在x=1處的斜率，然后根據直線平行時斜率相等的條件可求b，代入可求f（n），利用裂項求和即可求得結論．

解答：解：由f（x）=x²+bx求導得：f′（x）=2x+b，
∵函數f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x²+x
∴f（n）=n（n+1），
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₃=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

=

2013

2014

．
故選C．

點評：本題考查了導函數的幾何意義，考查利用利用裂項相消法求數列的前n項和的方法，屬于中檔題．