Question

 （本小題滿分１４分）

定義，，

（Ⅰ）令函數的圖象為曲線，曲線與軸交于點，過坐標原點向曲線作切線，切點為，設曲線在點之間的曲線段與線段所圍成圖形的面積為，求的值；

（Ⅱ）令函數的圖象為曲線，若存在實數使得曲線在處有斜率為-8的切線，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當 且時，證明。

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

 解：（Ⅰ）∵

∴，

故A(0，9)，                                              （1分)

又過坐標原點O向曲線作切線，切點為B(n，t) (n>0) ，=2x-4． 

∴，

解得B( 3，6 ) ，                                          （2分)

∴．          （4分）

（Ⅱ），

設曲線在處有斜率為-8的切線， 

又由題設log₂(x³+ax²+bx+1)>0 , =3x²+2ax+b,

∴存在實數b使得有解，        （6分)

由（1）得，代入（3）得，（7分)

∴由有解，

得2×(-4)²+a×(-4)+8>0或2×(-1)²+a×(-1)+8>0,

∴a<10或， ∴．                               （9分）

（Ⅲ）令，由，          （10分）

又令， ∴，

∵在連續(xù)   ∴在單調遞減，            （12分）

∴當時有，，∴當時有，，

∴在單調遞減，                                    （13分）

∴時，有，∴yln(1+x)>xln(1+y),

∴，

∴當 且時， ．                 （14分）