Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義，f（）=-1，且滿足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（）
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；?
（2）對數列x₁=，x_n+1=，求f（x_n）；?
（3）求證

Answer 1

【答案】分析：（1）利用題中條件找出f（-x）=-f（x）即可
（2）找f（x_n+1）與f（x_n）的關系，得f（x_n）的表達式
（3）利用等比數列的求和公式可得不等式的左邊，再利用分離常數法把不等式的右邊整理即可得結論
解答：（Ⅰ）證明：令x=y=0，∴2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=0∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數（4分）
（Ⅱ）解：f（x₁）=f（）=-1，f（x_n+1）=f（）=f（）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴=2即{f（x_n）}是以-1為首項，2為公比的等比數列
∴f（x_n）=-2^n-1
（Ⅲ）解：=
而
∴
點評：證明抽象函數的奇偶性，須利用函數奇偶性的定義，找準方向，巧妙賦值，合理，靈活變形，找出f（-x）與f（x）的關系．