Question

12、如圖，已知平面α、β交于直線l，AB、CD分別在平面α，β內，且與l分別交于B，D兩點．若∠ABD=∠CDB，試問AB，CD能否平行？并說明理由．

Answer 1

分析：由圖可知直線AB與CD無交點，若AB與CD平行，則易得CD與平面α平行，AB與平面β平行，由線面平行的性質我們也易得AB，CD與平面α與平面β的交線平行，這與已知相矛盾，故直線AB，CD不能平行，我們可以用反證法證明結論．

解答：證明：直線AB，CD不能平行．證明如下：
若AB∥CD，則AB∥CD共面，記這個平面為γ．
∴AB，CD?γ．
∴AB?α，D∈γ．
由題知，AB?α，D∈α，且D∉AB，
根據過一條直線及這條直線外一點，
有且僅有一個平面，α與γ重合．
同理，β與γ重合．
∴α與β重合，這與題設矛盾．
∴AB，CD不能平行．

點評：本題考查的知識點是平面的基本性質及推論，其中反證法證明的步驟和方法需要熟練掌握．