Question

設命題p：|4x-3|≤1和命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若?p是?q的必要而不充分條件．
（1）p是q的什么條件？
（2）求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為┐p是┐q的必要而不充分條件，其等價命題是：q是p的必要不充分條件，即p是q的充分不必要條件．
（2）根據上一問的結果得到命題p中變量的范圍是命題q中變量的取值范圍的真子集，可以畫出數軸，考察區間端點的位置關系，得到關于a的不等式組，可得答案．

解答：解：（1）因為┐p是┐q的必要而不充分條件，
其逆否命題是：q是p的必要不充分條件，
即p是q的充分不必要條件；
（2）∵|4x-3|≤1，
∴

1

2

≤x≤1．   
解x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．
因為┐p是┐q的必要而不充分條件，所以q是p的必要不充分條件，
即由命題p成立能推出命題q成立，但由命題q成立不推出命p成立．
∴[

1

2

，1]?[a，a+1]．
∴a≤

1

2

且a+1≥1，得0≤a≤

1

2

．
∴實數a的取值范圍是：[0，

1

2

]．

點評：本題考查充要條件、必要條件與充分條件的應用，考查絕對值不等式的解法、一元二次不等式的解法，本題解題的關鍵是根據四種命題的等價關系得到p，q之間的關系，本題是一個中檔題目．