Question

如圖，已知位于y軸左側的圓C與y軸相切于點（0，1）且被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2，過點H（0，t）的直線l于圓C相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經過坐標原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）當t=1時，求出直線l的方程；
（3）求直線OM的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知圓心在直線y=1上，設出圓與x軸的交點分別為A和B，由被x軸分成的兩段圓弧長之比為1：2得到∠ACB的度數，根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到半徑AC和CB的長，進而得到圓心C的坐標，根據圓心坐標和圓的半徑寫出圓C的方程即可；
（2）由t的值得到H的坐標，又直線l的斜率存在，設出直線l的方程，與圓的方程聯立即可求出兩交點坐標分別設為M和N，由以MN為直徑的圓恰好經過坐標原點O，根據直徑所對的圓周角為直角，得到與垂直，利用兩向量垂直時數量積為0，列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，寫出直線l的方程即可；
（3）設出直線OM的方程，根據直線OM與圓的位置關系是相交，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線OM的距離d，讓d小于圓C的半徑列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍．
解答：解：（1）因為位于y軸左側的圓C與y軸相切于點（0，1），所以圓心C在直線y=1上，
設圓C與x軸的交點分別為A、B，
由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2：1，得，
所以CA=CB=2，圓心C的坐標為（-2，1），
所以圓C的方程為：（x+2）²+（y-1）²=4．
（2）當t=1時，由題意知直線l的斜率存在，設直線l方程為y=mx+1，
由得或，
不妨令，
因為以MN為直徑的圓恰好經過O（0，0），
所以，
解得，所以所求直線l方程為或．
（3）設直線MO的方程為y=kx，
由題意知，，解之得，
同理得，，解之得或k＞0．由（2）知，k=0也滿足題意．
所以k的取值范圍是．
點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系，掌握兩向量垂直時數量積的值為0，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，是一道中檔題．