Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．P是AB上的點，則點P到AC，BC的距離的積的最大值是（　�。�

• A．2
• B．3
• C．

  3 3

  2

• D．3

  2

Answer 1

分析：由題意畫出三角形ABC，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．設(shè)PM=x，通過三角形相似，求出PM，PN，即可推出點P到AC，BC的距離的積的表達式，利用二次函數(shù)求出乘積的最大值．

解答：解：如圖：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．設(shè)PM=x．
因為三角形是直角三角形，顯然△AMP∽△ACB，所以

AM

AC

=

PM

BC

可得：

AM

4

=

x

3

，
所以AM=

4x

3

，MC=4-

4x

3

．
所以PN=4-

4x

3

．
PM•PN=x（4-

4x

3

）
=

4

3

x（3-x）
=

4

3

（-x²+3x）
=-

4

3

（x-

3

2

）²+3．
由二次函數(shù)知識，當x=

3

2

時（此時點P是AB的中點），PM•PN有最大值3
答：P到AC，BC的距離乘積的最大值是3．
故選B．

點評：正確利用輔助線，三角形的相似得到乘積的表達式，利用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，本題也可以利用解析幾何的解析法解答．