Question

某工廠今年擬舉行產品促銷活動，經調查測算，該廠產品的年銷售量（即該廠的年產量）x（萬件）與年促消費m（萬元）（m≥0）滿足關系，已知今年生產的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．（I）將今年該產品的利潤y（萬元）表示為年促銷費m（萬元）的函數；（II）求今年該產品利潤的最大值，此時年促銷費為多少萬元？

Answer 1

解：（I）每件產品的成本為元，且x=，則
今年的利潤y=1.5וx-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8-m=28--m（其中m≥0），
所以，所求的函數為y=28-m-m≥0；
（II）因為函數y=28-m-=29-[+m+1]≤29-2=21，
當且僅當=m+1（其中m≥0），即m=3（萬元）時，等號成立；
所以，今年該產品利潤的最大值為21萬元，此時年促銷費為3萬元．
分析：（I）每件產品的成本為元，且x=，則利潤函數y=1.5וx-（8+16x+m），整理即可；
（II）由函數y=28-m-，構造條件應用基本不等式，可求得函數y的最大值及對應的m值．
點評：本題考查了利潤函數模型的應用，也考查了利用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函數的最值問題，是中檔題．