Question

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）當m為何值時，曲線C表示圓；
（2）若曲線C與直線y=x+1交于M、N兩點，且OM⊥ON（O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由二元二次方程構成圓的條件D²+E²-4F＞0列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意m的范圍；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1列出關系式，然后將直線y=x+1與已知曲線聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出兩根之和與兩根之積，將y=x+1代入x₁x₂+y₁y₂，化為關于兩點橫坐標的關系式，整理后將求出的兩根之和與兩根之積代入，即可求出m的值．

解答：解：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得：m＜5；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y=x+1，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0③，
將直線方程y=x+1與曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0，
聯立并消去y得：2x²-4x+m-3=0，
當△=16-8（m-3）≥0，即m≤-1，
由韋達定理得：x₁+x₂=2①，x₁x₂=

m-3

2

②，
將①、②代入③得：4+

m-3

2

+1=0，
則m=-7．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，二元二次方程構成圓的條件，韋達定理，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，是一道高考中�？嫉木C合題．