Question

在數列{a_n}中，S_n為其前n項之和，且S_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于：

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  (2n-1)2
• C、4ⁿ-1
• D、

  1

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：首先根據前n項和S_n=2ⁿ-1，解出數列a_n通項，在平方，觀察到是等比數列，再根據等比數列的前n項和的公式求解．

解答：解：因為a_n=S_n-S_n-1，又S_n=2ⁿ-1
所以a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1所以，a_n²=4^n-1是等比數列
設A_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²
由等比數列前n項和An=

1-qn

1-q

，q=4
解得An=

1

3

(4n-1)
所以答案為D

點評：此題主要考查數列的求和問題，其中應用到由前n項和求數列通項和等比數列的前n項和公式，這些都需要理解并記憶．