Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，a_n+S_n=4096．
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）設數列{log₂a_n}的前n項和為T_n，對數列{T_n}，從第幾項起T_n＜-509？

Answer 1

分析：（1）由題設知a₁+S₁=4096，a₁=2048．a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n，由此可知

an

an-1

=

1

2

a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）由題設條件可知T_n=

1

2

（-n²+23n）．再由T_n＜-509，知n＞

23+ 4601

2

，由此可知從第46項起T_n＜-509．

解答：解：（1）∵a_n+S_n=4096，
∴a₁+S₁=4096，a₁=2048．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n
∴

an

an-1

=

1

2

a_n=2048（

1

2

）^n-1．
（2）∵log₂a_n=log₂[2048（

1

2

）^n-1]=12-n，
∴T_n=

1

2

（-n²+23n）．
由T_n＜-509，解得n＞

23+ 4601

2

，而n是正整數，
于是，n≥46．
∴從第46項起T_n＜-509．

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．