Question

（2012•邯鄲一模）已知正項等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a1+a5=

1

3

a32，S₇=56．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求數列{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得2a3=

1

3

a32，可求a₃，利用等差數列的求和公式及性質可求a₄，則d=a₄-a₃，從而可求通項
（Ⅱ）由已知可得b_n+1-b_n=2（n+1），利用疊加法可求b_n，然后利用裂項相消法可求數列的和

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是等差數列且a1+a5=

1

3

a32，
∴2a3=

1

3

a32，
又∵a_n＞0∴a₃=6．…（2分）
∵S7=

7(a1+a7)

2

=7a4=56∴a4=8，…（4分）
∴d=a₄-a₃=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n．   …（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
當n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=n（n+1），…（8分）
當n=1時，b₁=2滿足上式，b_n=n（n+1）
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（10分）
∴Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．        …（12分）

點評：本題主要考查了等差 數列與等比數列的綜合運算，等差數列的求和公式及性質、通項公式的靈活應用是求解的關鍵．