Question

記不等式組表示的平面區域為M．
（Ⅰ）畫出平面區域M，并求平面區域M的面積；
（Ⅱ）若點（a，b）為平面區域M中任意一點，求直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）分別聯解方程組，得到三條直線的三個交點的坐標，再根據一元二次不等式組表示的平面區域的結論，可得平面區域M為：△ABC及其內部，其中、B（1，3）、C（1，-2），最后可用三角形面積公式求出區域M的面積．
（II）直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以使直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限的點（a，b）的區域為區域M內與第二象限交集，即圖中陰影部分，可求出其面積S'，最后利用幾何概型公式，求出其概率．
解答：解：（Ⅰ）聯解，得，，得到點；
聯解，得x=1，y=3，得到點B（1，3）；聯解，得x=1，y=-2，得到點C（1，-2）
∴根據一元二次不等式組表示的平面區域的結論，可得平面區域M表示直線AB下方，直線AC上方且在直線BC左側的部分
因此，可得平面區域M為：△ABC及其內部，其中、B（1，3）、C（1，-2），（如右圖所示）（3分）
∴平面區域M的面積為S=（5分）
（Ⅱ）要使直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限，則a＜0，b＞0，（6分）
又∵點（a，b）的區域為M，
∴使直線y=ax+b的圖象經過一、二、四象限的點（a，b）的區域為第二象限的陰影部分，
其面積為S'=2-=                                （8分）
故所求的概率為（10分）
點評：本題以二元一次不等式組表示的平面區域為例，考查了平面直角坐標系中求直線交點坐標、二元一次不等式（組）與平面區域和幾何概型等知識點，屬于基礎題．