Question

已知函數f（x）=axlnx，在點（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為函數f（x）=axlnx，所以定義域為（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．因為在點（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=2（lnx+1），令f'（x）=0，得x=

1

e

．由此討論f（x）的單調性，能夠求出函數f（x）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數f（x）=axlnx，
所以定義域為（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．…..（2分）
因為在點（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行，
所以f'（e）=4，即a（lne+1）=4．…..（4分）
所以a=2．
所以f（x）=2xlnx．…..（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=2（lnx+1），
令f'（x）=0，得x=

1

e

．
當x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，
所以函數f（x）在(0，

1

e

)上單調遞減；
當x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，
所以函數f(x)在(

1

e

，+∞)上單調遞增．
所以①若

1

e

∈(m，m+2)時，函數f（x）的最小值是f(

1

e

)=-

2

e

；
若

1

e

≤m＜m+2時，函數f（x）在[m，m+2]上單調遞增，
所以函數f（x）的最小值是f（m）=2mlnm．…..（13分）

點評：本題考查函數解析式的求法，考查函數最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價討論思想的合理運用．