Question

已知x＝4是函數f(x)＝alnx＋x²－12x＋11的一個極值點．

(1)求實數a的值；

(2)求函數f(x)的單調區間；

(3)若直線y＝b與函數y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵(x)＝＋2x－12， 　　∴(4)＝＋8－12＝0 　　因此a＝16　　3分 　　(2)由(1)知， 　　f(x)＝16lnx＋x2－12x＋11，x∈(0，＋∞) 　　(x)＝　　5分 　　當x∈(0，2)∪(4，＋∞)時，(x)＞0 　　當x∈(2，4)時，(x)＜0　　7分 　　所以f(x)的單調增區間是(0，2)，(4，＋∞) 　　f(x)的單凋減區間是(2，4)　　8分 　　(3)由(2)知，f(x)在(0，2)內單調增加，在(2，4)內單調減少，在(4，＋∞)上單調增加，且當x＝2或x＝4時，(x)＝0 　　所以f(x)的極大值為f(2)＝16ln2－9，極小值為f(4)＝32ln2－21 　　因此f(16)＝16ln16＋162－12×16＋11＞16ln2－9＝f(2) 　　f(e－2)＜－32＋11＝－21＜f(4) 　　所以在f(x)的三個單調區間(0，2)，(2，4)，(4，＋∞)內，直線y＝b與y＝f(x)的圖象各有一個交點， 　　當且僅當f(4)＜b＜f(2)成立　　13分 　　因此，b的取值范圍為(32 ln2－21，16ln2－9)　　14分