Question

21.在XOY平面上有一點列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n），…，對每個自然數n，點P_n位于函數y＝2000（）^x（0＜a＜10＝的圖象上，且點P_n，點（n，0）與點（n+1，0）構成一個以P_n為頂點的等腰三角形.

（1）求點P_n的縱坐標b_n的表達式；

（2）若對每個自然數n，以b_n，b_n－1，b_n－2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；

 

（3）設B_n=b₁b₂…b_n（nN）.若a取（2）中確定的范圍內的最小整數，求數列的最大項的項數.

Answer 1

21.解：

（1）由題意，a_n=n+，

∴b_n=.　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（2）∵函數y=（0<a<10）遞減，

∴對每個自然數n，有b_n>b_n+1>b_n+2.

則以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是b_n+2+b_n+1>b_n，

 

即－1>0.　　　　　　　　　　　　　　　　

解得a<－5（1+）或a>5（），

∴5（－1）<a<10.　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（3）∵5（－1）<a<10，

 

∴a=7，b_n=.　                           

 

數列｛b_n｝是一個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2，B_n=b_nB_n－1.

 

于是當b_n≥1時，B_n≥B_n－1，當b_n＜1時，B_n＜B_n－1.

 

因此，數列｛B_n｝的最大項的項數n滿足不等式b_n≥1且b_n－1<1.

 

由b_n=≥1，得n≤20.8.

 

∴n=20.