Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}中，a₁+a₂=4，a₃=9．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足b_n=log₉a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，且a₁+a₂=4，a₃=9，所以可把a₁，a₂，a₃均用a₁和q表示，求出a₁和q，再代入等比數列的通項公式即可．
（Ⅱ）根據b_n=log₉a_n和（Ⅰ）中所求數列{a_n}的通項公式，可求出數列{b_n}的通項公式，判斷出數列{b_n}為等差數列，再利用等差數列的前n項和公式，即可求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）因為數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，且a₁+a₂=4，a₃=9，
所以可得：

a1(1+q)=4 a1q2=9.

解得a₁=1，q=3．
則數列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）b_n=log₉3^n-1=log99

1

2

(n-1)=

n-1

2

（n∈N^*）．所以數列{b_n}為等差數列，
則Sn=

1

2

(0+

n-1

2

)n=

n(n-1)

4

（n∈N^*）．

點評：本題考查了等比數列通項公式的求法，以及等差數列的前n項和公式的應用，屬必須掌握的內容．