Question

如圖，從雙曲線的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則|MO|-|MT|與b-a的大小關系為（ ）
A．|MO|-|MT|＞b-a
B．|MO|-|MT|＜b-a
C．|MO|-|MT|=b-a
D．以上三種可能都有

Answer 1

【答案】分析：將點P置于第一象限．設F₁是雙曲線的右焦點，連接PF₁．由M、O分別為FP、FF₁的中點，知|MO|=|PF₁|．由雙曲線定義，知|PF|-|PF₁|=2a，|FT|==b．由此知|MO|-|MT|=（|PF₁|-|PF|）+|FT|=b-a．
解答：解：將點P置于第一象限．
設F₁是雙曲線的右焦點，連接PF₁
∵M、O分別為FP、FF₁的中點，∴|MO|=|PF₁|．
又由雙曲線定義得，
|PF|-|PF₁|=2a，
|FT|==b．
故|MO|-|MT|
=-|MF|+|FT|
=（|PF₁|-|PF|）+|FT|
=b-a．
故選C．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．