Question

空間中到A、B兩點距離相等的點構成的集合是（　　）

• A、線段AB的中垂線
• B、線段AB的中垂面
• C、過AB中點的一條直線
• D、一個圓

Answer 1

分析：作出經過線段AB中點C且與AB垂直的平面α，利用線面垂直的定義與性質，證出α內的任意一點到A、B的距離相等，反之到A、B兩點距離相等的點在平面α內．由此可得所求點的集合是線段AB的中垂面．

解答：解：設AB的中點為C，經過點C作平面α，使AB⊥α，如圖所示．
設P是α內的任意一點，連結AP、BP、CP，
∵AB⊥α，CP?α，∴CP⊥AB，
又∵C是AB的中點，
∴CP是線段AB的垂直平分線，可得PA=PB，即點P到A、B兩點距離相等．
反之，到A、B兩點距離相等的點P必定在線段AB的垂直平分線上，
由線面垂直的性質可得點P必定在平面α內．
∴到A、B兩點距離相等的點構成的集合是平面α，即線段AB的垂直平分面．
故選：B

點評：本題給出到A、B兩點距離相等的點P，求點P的集合構成的圖形，著重考查了線面垂直的判定與性質及其應用的知識，屬于中檔題．